10.2 Der Lagrange-Formalismus

Das Lagrangeverfahren ist ein einfaches Verfahren zur Lösung von Extremwertproblemen unter Nebenbedingungen. Dieses hat im Allgemeinen die Form

Es können auch weitere Nebenbedingungen existieren. Da die Anzahl der Nebenbedingungen geringer als die der Variablen sein sollte, (ansonsten gibt es meistens nur einzelne oder gar keinen Punkt, welche alle Nebenbedingungen erfüllen), verwendet man bei zwei Variablen nur eine Nebenbedingung. Insbesondere gelten in ökonomischen Problemstellungen zusätzlich oft die Nichtnegativitätsbedingungen $x\ge 0$ und $y\ge 0$. In dieser Allgemeinheit muss zunächst untersucht werden, ob es ein Maximum im Inneren der Nebenbedingung ($g\left(x,y\right)<c$) gibt. Danach erst kann mit dem eigentlichen Lagrangeverfahren ein Extremum am Rand der Nebenbedingung bestimmt werden. Ist die Funktion $F$ jedoch monoton und die zulässige Menge beschränkt (d.h. $x=\infty$ oder $y=\infty$ wird durch die Nebenbedingung ausgeschlossen), so wird das Maximum immer am Rand angenommen. Dies ist in den von uns untersuchten Problemen eigentlich immer der Fall. So gilt beim Nutzen i.d.R. die Nichtsättigung, d.h. mehr ist besser, und somit ist die Nutzenfunktion monoton wachsend. In diesen Fällen vereinfacht sich das Problem zu

und man löst dieses Problem mit dem Lagrange-Verfahren. Dazu stellt man die sogenannte Lagrangefunktion $\mathcal{ℒ}$ auf

und maximiert diese. Die Variable $\lambda$ wird Lagrangemultiplikator genannt. Bei mehreren Nebenbedingungen erhält jede Nebenbedingung $g_i$ einen eigenen Lagrangemultiplikator ${\lambda }_i$ und wird zur Lagrangefunktion addiert. Zur Maximierung leitet man die Funktion wie üblich ab und setzt die ersten Ableitungen gleich Null. Die resultierenden Gleichungen nennt man Bedingungen erster Ordnung oder "First Order Conditions" (FOC).

Löst man dieses Gleichungssystem, so ist die Lösung, wenn sie zulässig ist, ein Maximalpunkt. Die FOC3 stellt dabei die Nebenbedingung dar, d.h. sie stellt sicher, dass die Nebenbedingung auch erfüllt ist. Ein häufiger Schritt zur Lösung der Gleichungssystems ist die beiden ersten Gleichungen durcheinander zu dividieren, um so $\lambda$ zu eleminieren, da die Quotienten der partiellen Ableitungen oft einfache Form haben.

Als Voraussetzung für den Nachweis eines Maximums ist noch zu prüfen, ob die Funktion $\mathcal{ℒ}\left(x,y,\lambda \right)$ konkav in $\left(x,y\right)$ ist. Ist sie konvex, so ist der gefundene Punkt ein Minimum. Betrachtet man wie wir lineare Nebenbedingungen wie die Budgetrestriktion oder die Kostenfunktion, so ist klar, dass deren zweite Ableitung immer verschwindet. Für den Nachweis der Konkavität (Konvexität) kann man sich also auf die Funktion $F$ beschränken. Eine Funktion $F$ ist beispielsweise konkav, wenn sie abnehmende Skalenerträge aufweist. Sind die Skalenerträgen konstant oder abnehmend, so ist die Funktion meistens in einer Richtung konvex und in einer konkav. In diesen Fällen muss differenzierter analysiert werden, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt. Als Nachweis für ein Maximum wäre z.B. eine positive zweite Richtungsableitung in Richtung der Nebenbedingung möglich, oder es reicht zu zeigen, dass die Funktion monoton wachsend ist und die Isoquanten konvex, aber auch andere Nachweise sind möglich.