10.5 Der Lagrange-Formalismus am Beispiel einer anderen Nutzenfunktion

Wir lösen nun das bekannte Problem des Haushaltsoptimums für die Nutzenfunktion $U\left(x,y\right)=\alpha \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\beta \sqrt{y}$ bei gegebenem Budget $B$, wenn die Güterpreise $p_x$ und $p_y$ betragen, also

$$\underset{x,y}{\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\alpha \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\beta \sqrt{y}\text{ unter der Bedingung, dass }x{p}_x+y{p}_y=B.$$

Wir bilden die Lagrangefunktion

$$\mathcal{ℒ}\left(x,y,\lambda \right)=\alpha \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\beta \sqrt{y}+\lambda \left(x{p}_x+y{p}_y-B\right)$$

und die Bedingungen erster Ordnung:

$$\begin{array}{lll}\hfill \frac{d}{\mathit{dx}}\left(\alpha \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\beta \sqrt{y}\right)+\lambda p_x& =\frac{\alpha }{x}+\lambda p_x=0& \hfill \text{(10.14)}\\ \hfill \frac{d}{\mathit{dy}}\left(\alpha \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\beta \sqrt{y}\right)+\lambda p_y& =\beta \frac{1}{2\sqrt{y}}+\lambda p_y=0& \hfill \text{(10.15)}\\ \hfill x{p}_x+y{p}_y-B& =0& \hfill \text{(10.16)}\end{array}$$

Die FOC 3 stellt die Nebenbedingung dar. Die anderen beiden formen wir um, indem wir $-\lambda p_x$ bzw. $-\lambda p_y$ addieren

$$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\alpha }{x}& =-\lambda p_x& \hfill \text{(10.17)}\\ \hfill \frac{\beta }{2\sqrt{y}}& =-\lambda p_y& \hfill \text{(10.18)}\end{array}$$

und dann die Gleichungen durcheinander dividieren. Dadurch kürzt sich $\lambda$ weg.

$$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\frac{\alpha }{x}}{\frac{\beta }{2\sqrt{y}}}& =\frac{p_x}{p_y}& \hfill \text{(10.19)}\end{array}$$

Die resultierende Gleichung stellt den zentralen Punkt der Lösung dar. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Grenznutzenverhältnis und dem Preisverhältnis dar. Wir fassen diese Gleichung nun noch mit der Nebenbedingung zusammen, wobei wir beide leicht umgeformt haben:

$$\begin{array}{llll}\hfill x{p}_x+y{p}_y& =B& \hfill & \\ \hfill \frac{2\alpha p_y}{\beta }\sqrt{y}& =x{p}_x& \hfill & \end{array}$$

Durch Einsetzen erhalten wir

$$B=\frac{2\alpha p_y}{\beta }\sqrt{y}+y{p}_y$$

und somit als einzige positive Lösung (Hinweis: Man betrachte das als quadratische Gleichung in $\sqrt{y}$!)

$$y={\left(-\frac{\alpha }{\beta }+\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2+\frac{B}{p_y}}\right)}^2$$

$x$ ergibt sich dann als

$$x=\frac{1}{p_x}\frac{2\alpha p_y}{\beta }\sqrt{y}=\frac{p_y}{p_x}\frac{2\alpha }{\beta }\left(-\frac{\alpha }{\beta }+\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2+\frac{B}{p_y}}\right).$$