Randlosungen

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10.8 Randlösungen

Hier werden Fälle betrachtet, welche als Optimum $x = 0$ oder $y = 0$ beinhalten. Für komplexere Problemstellungen mit Randlösungen bei mehr als zwei Variablen gibt es das sogenannte Kuhn-Tucker-Verfahren, welches jedoch den Rahmen des vorliegenden Textes sprengen würde. Ausführungen dazu finden sich in entsprechenden Lehrbüchern.
In den bisher behandelten Fällen konnten wir als Lösung immer Punkte finden, bei denen die Grenzrate der Substituion (GRS) mit dem Preisverhältnis übereinstimmte. Ist die GRS (d.h. das Grenznutzenverhältnis) jedoch beschränkt, d.h. gibt es Werte $α$ und/oder $β$ für die gilt,

$α < GRS < β$

so bedeutet das, dass es für Preisverhältnisse $\frac{p_{x}}{p_{y}}$ die kleiner als $α$ oder größer als $β$ sind, keine Lösung der Gleichung $GRS = \frac{p_{x}}{p_{y}}$ gibt. Es gibt dann keine Gütermengen, bei denen die Steigung der Budgetgeraden der Steigung der Isoquante gleicht.
Ist die GRS größer als das Preisverhältnis $\frac{p_{x}}{p_{y}}$ ,

$GRS > \frac{p_{x}}{p_{y}}$

so bedeutet das, dass $x$ je zusätzlicher Einheit mehr Nutzen bringt, als man durch den Verzicht von so vielen Einheiten $y$ verliert, wie man benötigt, um das Geld für eine Einheit $x$ einzusparen. Man könnte also durch die Substitution von $y$ durch $x$ seinen Nutzen erhöhen. Dies ist solange möglich bis entweder sich die GRS durch die Veränderung der Güterverhältnisse an das Preisniveau angepasst hat oder man alle $y$ eingespart hat, also am Rand $y = 0$ angelangt ist. Da $y$ nicht negativ werden kann, ist die Lösung in diesem Fall, nur $x$ zu konsumieren.
In der Regel sind bei unseren Modellen die Isoquanten konvex, d.h. der Grenznutzen eines Gutes sinkt, je mehr es konsumiert wird. Somit ändert sich die GRS durch die Substitution immer in Richtung des Preisverhältnisses. Ist das Preisverhältnis jedoch derart, dass es außerhalb des Wertebereichs der GRS ist, also $\frac{p_{x}}{p_{y}} < α$ oder $β < \frac{p_{x}}{p_{y}}$ , dann kann nur eine teilweise Anpassung stattfinden, welche endet, wenn eines der beiden Güter vollständig substitutiert wurde.
Ist die GRS kleiner als das Preisverhältnis $\frac{p_{x}}{p_{y}}$ , so führt die analoge Überlegung zum Randpunkt $x = 0$ .
In der unten stehenden Graphik ist die GRS als Steigung der roten Tangente direkt mit der Steigung der Budgetgeraden vergleichbar. Durch Erhöhen eines der Preise kann man das Preisverhältnis derart anpassen, dass eine Randlösung zum Tragen kommt. Man beachte, dass auch eine Änderung der Budgets und damit eine Änderung der erreichbaren Isoquante die Grenzen der GRS verändert und somit einen Wechsel zwischen Randlösung und normaler Lösung auslösen kann.

0,0

Gut 2

Gut 1

p_x = 3.00

p_y = 3.00

Budget = 12.00

Der Preis von x relativ zu y 1.00 entspricht genau der GRS (Steigung derIsoquante, rote Linie) 1.00. Also würde eine Substitution von x durch y oder umgekehrt keine Nutzenänderungerzeugen. Da das Optimum allerdings ein Tangentialpunkt ist, würde jedes Abweichen von diesem Punkt eine Änderung der GRS implizieren, so dass eine nutzenerhaltende Substitution das Budget überschreiten würde.

In der Graphik wurde folgendes Beispiel mit $c = 3$ verwendet.

$U = \sqrt{(x + c) (y + c)}$

Als GRS ergibt sich

$\begin{array}{l} GRS & = \frac{\frac{d}{dx} U (x, y)}{\frac{d}{dy} U (x, y)} \\ = \frac{2 \sqrt{(y + c) (y + c)}}{2 \sqrt{(x + c) (x + c)}} \\ = \frac{y + c}{x + c} \end{array}$

Gleichsetzen mit dem Preisverhältnis und verwenden der Nebenbedingung ergibt als Lösung:

$\begin{array}{l} \frac{\frac{d}{dx} U (x, y)}{\frac{d}{dy} U (x, y)} & = \frac{y + c}{x + c} = \frac{p_{x}}{p_{y}} \\ y p_{y} & = p_{x} (x + c) - c p_{y} \\ x p_{x} + p_{x} (x + c) - c p_{y} & = B \\ x & = \frac{B + c (p_{y} - p_{x})}{2 p_{x}} \\ y & = \frac{B + c (p_{x} - p_{y})}{2 p_{y}} \end{array}$

Die Funktionsgleichung der Isoquante lautet:

$\begin{array}{l} U & = \sqrt{(x + c) (y + c)} \\ y & = \frac{U^{2}}{x + c} - c \\ = \frac{(\frac{B + c (p_{y} - p_{x})}{2 p_{x}} + c) (\frac{B + c (p_{x} - p_{y})}{2 p_{y}} + c)}{x + c} - c \\ = \frac{{(B + c (p_{x} + p_{y}))}^{2}}{4 p_{x} p_{y} (c + x)} - c \end{array}$

Randlösung $x = 0$ und Ableitung bei $x = 0$

$\begin{array}{l} y p_{y} - B & = 0 \\ y & = \frac{B}{p_{y}} \\ GR S_{x = 0} & = {\frac{y + c}{x + c} |}_{x = 0} = \frac{\frac{B}{p_{y}} + c}{c} = \frac{B}{c p_{y}} + 1 \end{array}$

Wenn also $\frac{B}{c p_{y}} + 1 \leq \frac{p_{x}}{p_{y}}$ , dann gilt die Randlösung $x = 0$ . Randlösung $y = 0$ und Ableitung bei $y = 0$

$\begin{array}{l} x p_{x} - B & = 0 \\ x & = \frac{B}{p_{x}} \\ GR S_{y = 0} & = {\frac{y + c}{x + c} |}_{x = 0} = \frac{c}{\frac{B}{p_{x}} + c} \end{array}$

Wenn also $\frac{c}{\frac{B}{p_{x}} + c} \geq \frac{p_{x}}{p_{y}} \Leftrightarrow \frac{p_{y}}{p_{x}} \geq \frac{B}{c p_{x}} + 1$ , dann gilt die Randlösung $y = 0$ .

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Dynamic Economics - Dynamische Volkswirtschaftslehre: Ein Online Lehrbuch mit dynamischen Graphiken zur Einführung in die Volkswirtschaftslehre © 2010-2023 by Christian Bauer, Universität Trier is licensed under CC BY-SA 4.0
Prof. Dr. Christian Bauer, Lehrstuhl für monetäre Ökonomik, Universität Trier, D-54296 Trier, E-mail: bauer@uni-trier.de