15.5 Die formale Bestimmung des Preises bei Freihandel

Setzen wir das Beispiel 14.4 zu Autarkie fort und nehmen an, dass die Länder sich für den Außenhandel öffnen. Der relative Weltmarktpreis vom Gut $X$ soll zwischen den Autarkiepreisen der Länder liegen, der Weltmarktpreis von $Y$ wird normiert: $\frac{a_{\mathit{LX}}}{a_{\mathit{LY}}}<p_x^w<\frac{a_{\mathit{LX}}^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}$.

1. Bestimmen Sie die Produktionsmengen für beide Länder.
   Da $\frac{a_{\mathit{LX}}}{a_{\mathit{LY}}}<\frac{a_{\mathit{LX}}^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}$, wird Inland sich auf die Produktion von Gut $X$ vollständig spezialisieren, Ausland wird sich vollständig auf die Produktion von Gut $Y$ spezialisieren.
   Produktionsmengen sind :

   $$x_p=\frac{L}{a_{\mathit{LX}}},y_p=0,x_p^{\text{∗}}=0,y_p^{\text{∗}}=\frac{L^{\text{∗}}}{a_{L{Y}^{\text{∗}}}}$$

   Berechnen wir das Einkommen zu den Weltmarktpreisen.
   Inland: $I=p_x^w\frac{L}{a_{\mathit{LX}}}$, Ausland: $I^{\text{∗}}=\frac{L^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}$, wobei $p_y^w=1$.

2. Berechnen Sie die Konsummengen für Inland.
   Um die optimalen Konsummengen zu finden, muss die Nutzenfunktion und der Nebenbedingung Budgetbeschränkung (bei den gegebenen Weltmarktpreisen) maximiert werden. Budgetbeschränkung: $I=y_c+p_x^w{x}_c$. Die Lagrangefunktion ist:

   $$\mathcal{ℒ}=x_c^{\alpha }{y}_c^{1-\alpha }+\lambda [I-p_x^w{x}_c-y_c]$$

   BEO:

   $$\begin{array}{rcll}\frac{\delta \mathcal{ℒ}}{\delta x_c}=\alpha {\left(\frac{y_c}{x_c}\right)}^{1-\alpha }-\lambda p_x^w=& 0& & \text{(15.1)}\\ & \Rightarrow & \frac{\alpha }{p_x^w}{\left(\frac{y_c}{x_c}\right)}^{1-\alpha }=(1-\alpha ){\left(\frac{x_c}{y_c}\right)}^{\alpha }& \\ \frac{\delta \mathcal{ℒ}}{\delta y_c}=(1-\alpha ){\left(\frac{x_c}{y_c}\right)}^{\alpha }-\lambda =& 0& & \text{(15.2)}\\ & \iff & y_c=\frac{1-\alpha }{\alpha }{p}_x^w{x}_c& \text{(15.3)}\\ \frac{\delta \mathcal{ℒ}}{\lambda }=I-p_x^w{x}_c-y_c=& 0& & \text{(15.4)}\end{array}$$

   Von $(1.7)$ und $(1.8)$:

   $$\begin{array}{rcll}I& =& p_x^w{x}_c+\frac{1-\alpha }{\alpha }{p}_x^w{x}_c& \\ \iff I& =& \frac{1}{\alpha }{p}_x^w{x}_c& \\ x_c=\frac{\mathit{\alpha I}}{p_x^w}& & y_c=(1-\alpha )I& \end{array}$$

   Das Einkommen ist $I=p_x^w\frac{L}{a_{\mathit{LX}}}$, dann $x_c=\frac{\alpha }{a_{\mathit{LX}}}L$  ,  $y_c=\frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LX}}}{p}_x^{w}L$.

3. Berechnen Sie die Konsummenge für Ausland:

   $$\mathcal{ℒ}=x_c^{{\text{∗}}^{\alpha }}{y}_c^{{\text{∗}}^{(}1-\alpha )}+\lambda \left[I^{\text{∗}}-p_x^w{x}_c^{\text{∗}}-y_c^{\text{∗}}\right]$$

   $$x_c^{\text{∗}}=\frac{\alpha I^{\text{∗}}}{p_x^w},y_c^{\text{∗}}=(1-\alpha )I^{\text{∗}}$$

   Das Einkommen von Ausland ist: $I^{\text{∗}}=\frac{L^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LX}}^{\text{∗}}}$, dann

   $$x_c^{\text{∗}}=\frac{\alpha L^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}{p}_x^w},y_c^{\text{∗}}=\frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}{L}^{\text{∗}}$$

   .

4. Berechnen Sie die Gleichgewichtspreise (relativer Preis von Gut $X$ $p_x^w$ und dem Arbeitslohn $w$). Im Außenhandelsgleichgewicht muss gelten: Die aggregierte Produktion jedes Gutes muss der aggregierten Nachfrage entsprechen. Betrachten wir den Markt für das Gut $Y$. Das gut $Y$ wird nur im Ausland produziert, aber in beiden Ländern konsumiert.

   $$\begin{array}{rcll}{y}_p+y_p^{\text{∗}}& =& y_c+y_c^{\text{∗}}& \\ \frac{L^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}& =& \frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LX}}}L{p}_x^w+\frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}{L}^{\text{∗}}& \\ \iff \alpha \frac{L^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}& =& \frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LX}}}L{p}_x^w& \\ \iff p_x^w& =& \frac{\alpha }{1-\alpha }\frac{a_{\mathit{LX}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}\frac{L^{\text{∗}}}{L}& \end{array}$$

   Es muss dabei gelten: $\frac{a_{\mathit{LX}}^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}>p_x^w>\frac{a_{\mathit{LX}}}{a_{\mathit{LY}}}$

   Der Arbeitslohn wird mit Hilfe der Profitmaximierungsbedingung bestimmt: $p=\mathit{MC}$.
   Arbeitslohn in Inland:

   $$w{a}_{\mathit{LX}}=p_x$$

   $$w=\frac{\alpha }{1-\alpha }\frac{1}{a_{L{Y}^{\text{∗}}}}\frac{L^{\text{∗}}}{L}$$

   Arbeitslohn in Ausland:

   $$w^{\text{∗}}{a}_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}=p_Y(=1)$$

   $$w^{\text{∗}}=\frac{1}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}$$

   Die Arbeitslöhne in den Ländern werden nicht gleich!