14.4 Rechenbeispiel Autarkie

Nehmen wir wieder an, es gibt zwei Länder: Inland und Ausland. Das Arbeitsangebot in Inland ist $L$, in Ausland $L^{\text{∗}}$. Beide Länder produzieren zwei Güter: $X$ und $Y$. Die Arbeitskoeffizienten in Inland sind $a_{\mathit{LX}}$, $a_{\mathit{LY}}$; in Ausland $a_{\mathit{LX}}^{\text{∗}}$ und $a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}$. Es wird auch angenommen, dass Inland einen komparativen Kostenvorteil in der X-Produktion hat, d.h. $\frac{a_{\mathit{LX}}}{a_{\mathit{LY}}}<\frac{a_{\mathit{LX}}^{\text{∗}}}{a_{\mathit{LY}}^{\text{∗}}}$. Konsumenten in Inland haben die folgende Nutzenfunktion $U=x_c^{\alpha }{y}_c^{1-\alpha }$, in Ausland $U^{\text{∗}}=x_c^{{\text{∗}}^{\alpha }}{y}_c^{\ast (1-\alpha )}$ wobei $\alpha \in (0,1)$.

Berechnen Sie das Autarkiegleichgewicht für Inland und Ausland (Produktions- und Konsumengen, relative Preise für $X$ und $X^{\text{∗}}$).

In der Autarkie soll die Produktion gleich dem Konsum für beide Güter sein. Inland und Ausland maximieren die Nutzenfunktion unter der Nebenbedingung Transformationskurve. TK für Inland: $L=a_{\mathit{LX}}x+a_{\mathit{LY}}y$. Die Lagrangefunktion lautet:

$$\mathcal{ℒ}=x^{\alpha }{y}^{1-\alpha }+\lambda [L-a_{\mathit{LX}}x-a_{\mathit{LY}}y]$$

FOC

$$\begin{array}{rcll}\frac{\delta \mathcal{ℒ}}{\mathit{\delta x}}=\alpha {\left(\frac{y}{x}\right)}^{1-\alpha }-\lambda a_{\mathit{LX}}=& 0& & \text{(14.1)}\\ & \Rightarrow & \frac{\alpha }{a_{\mathit{LX}}}{\left(\frac{y}{x}\right)}^{1-\alpha }=\frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LY}}}{\left(\frac{x}{y}\right)}^{\alpha }& \\ \frac{\delta \mathcal{ℒ}}{\mathit{\delta y}}=(1-\alpha ){\left(\frac{x}{y}\right)}^{\alpha }-\lambda a_{\mathit{LY}}=& 0& & \text{(14.2)}\\ & \iff & y=\frac{1-\alpha }{\alpha }\frac{a_{\mathit{LX}}}{a_{\mathit{LY}}}x& \text{(14.3)}\\ \frac{\delta \mathcal{ℒ}}{\lambda }=L-a_{\mathit{LX}}x-a_{\mathit{LY}}y=& 0& & \text{(14.4)}\end{array}$$

Aus den beiden letzten Gleichungen erhalten wir durch Einsetzen von $y$:

$$\begin{array}{rcll}L& =& a_{\mathit{LX}}x+\frac{1-\alpha }{\alpha }{a}_{\mathit{LX}}x& \\ \iff L& =& \frac{1}{\alpha }{a}_{\mathit{LX}}x\iff x=\frac{\alpha }{a_{\mathit{LX}}}L\Rightarrow y=\frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LY}}}L& \end{array}$$

$x_c=x_p=\frac{\alpha }{a_{\mathit{LX}}}L$ und $y_c=y_p=\frac{1-\alpha }{a_{\mathit{LY}}}L$ .
Wir normieren den Preis für Gut $Y$: $p_Y=1\Rightarrow p_X=\frac{a_{\mathit{LX}}}{a_{\mathit{LY}}}$. Das sind die Opportunitätskosten für Gut $X$.