3.8 Einflussparameter auf das Gleichgewicht

Wir schauen uns nun an, welche Parameter welchen Einfluss auf das Gleichgewicht haben. Dazu sind in den unten genannten Graphik die Parameter Abschreibungsrate $\delta$, Sparneigung $s$ und Bevölkerungswachstumsrate $n$ als Schieberegler zum Verstellen eingefügt. Durch das bewegen der Regler sieht man, wie sich das Gleichgewicht verändert:

Alternativ kann man auch die Gleichgewichtsbedingung

$$\dot{k}=\mathit{sf}\left(k\right)-\left(\delta +n\right)k=0$$

als implizite Gleichung für $k$ auffassen und die partiellen Ableitungen mit Hilfe des impliziten Funktionentheorems aufstellen, also

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{\mathit{dk}}{\mathit{ds}}& =-\frac{\frac{d\dot{k}}{\mathit{ds}}}{\frac{d\dot{k}}{\mathit{dk}}}=-\frac{f\left(k\right)}{s{f}^{\prime }\left(k\right)-\left(\delta +n\right)}& \hfill & \\ \hfill \frac{\mathit{dk}}{\mathit{dn}}& =-\frac{\frac{d\dot{k}}{\mathit{dn}}}{\frac{d\dot{k}}{\mathit{dk}}}=-\frac{-k}{s{f}^{\prime }\left(k\right)-\left(\delta +n\right)}=\frac{k}{s{f}^{\prime }\left(k\right)-\left(\delta +n\right)}& \hfill & \\ \hfill \frac{\mathit{dk}}{\mathit{d\delta }}& =-\frac{\frac{d\dot{k}}{\mathit{d\delta }}}{\frac{d\dot{k}}{\mathit{dk}}}=-\frac{-k}{s{f}^{\prime }\left(k\right)-\left(\delta +n\right)}=\frac{k}{s{f}^{\prime }\left(k\right)-\left(\delta +n\right)}& \hfill & \end{array}$$

Da wir wissen, dass im Gleichgewicht $s{f}^{\prime }\left(k\right)<\delta +n$, da die Gerade den Funktionsgraph immer von unten schneidet (siehe Abschnitt "Wachstumspfad und Stabilität des Gleichgewichts: Rezession vs. Wachstum") , also steiler ist, und $s{f}^{\prime }\left(k\right)$ bzw. $\delta +n$ die Steigung von Graph bzw. Gerade darstellen, ergibt sich

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{\mathit{dk}}{\mathit{ds}}& >0& \hfill & \\ \hfill \frac{\mathit{dk}}{\mathit{ds}}& <0& \hfill & \\ \hfill \frac{\mathit{dk}}{\mathit{ds}}& <0& \hfill & \end{array}$$

und wie aus der Graphik zu ersehen hat ein Anstieg der Sparrate einen positiven Effekt auf das Gleichgewicht, während ein Anstieg der Abschreibungsrate oder des Bevölkerungswachstums die gleichgewichtige pro-Kopf-Produktion und damit den Wohlstand reduzieren.

Am Beispiel der Cobb-Douglas Produktionsfunktion sieht man dies sofort. Wie oben ausgerechnet ist die Kapitalintensität im Gleichgewicht

$$k^{\text{∗}}={\left(\frac{\delta +n}{s}\right)}^{\frac{1}{\alpha -1}},$$

wo offensichtlich $\delta$ und $n$ steigernd wirken (Zähler) und $s$ vermindernd (Nenner).