3.7 Konvergenzverhalten und das diskrete Modell

Die Konvergenz formal zu beweisen, würde einiges an mathematischer Theorie benötigen. Daher werden wir dies graphisch illustrieren. Dazu müssen wir allerdings eine zeitdiskrete Version des Solowmodells betrachten. Der Kapitalstock der nächsten Periode $K_{t+1}$ besteht aus dem aktuellen Kapitalstock $K_t$ zuzüglich der Bruttoinvestitionen $I_{\mathit{br}}=s{Y}_t,$ die der Ersparnis entspricht, und abzüglich der Abnutzung $\delta K_t$.

$$K_{t+1}=K_t-\delta K_t+s{Y}_t=K_t-\delta K_t+\mathit{sF}\left(K_t,L_t\right)$$

Das ganze dividieren wir durch die arbeitende Bevölkerung, die wir hier zur Vereinfachung konstant halten. Die Produktionsfunktion können wir aufgrund der Homogenität wie oben vereinfachen $\frac{F\left(K_t,L_t\right)}{L}=f\left(k_t\right)$.

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{K_{t+1}}{L}& =\frac{K_t}{L}-\delta \frac{K_t}{L}+s\frac{F\left(K_t,L_t\right)}{L}=\frac{K_t}{L}-\delta \frac{K_t}{L}+\mathit{sF}\left(\frac{K_t}{L},1\right)& \hfill & \\ \hfill k_{t+1}& =\left(1-\delta \right)k_t+\mathit{sf}\left(k_t\right)& \hfill & \end{array}$$

Im Gegensatz zum zeitstetigen Modell, bei dem die Bewegungsgleichung die Änderungsrate des Kapitalstocks pro Kopf angibt ($\dot{k}$), wird hier der Kapitalstock der Folgeperiode $k_{t+1}$ als Funktion des aktuellen Kapitalstocks $k_t$ angegeben. Die Graphik zeigt folglich auch ein $k_t-k_{t+1}$-Koordinationsystem und nicht ein $k-\dot{k}$-Koordinatensystem. Der $k_{t+1}$ Funktionsgraph verläuft steiler als der $\dot{k}$ Graph, weil $\dot{k}$ eine Änderungsrate darstellt wohingegen bei $k_{t+1}$ die Änderung zuzüglich des Altwerts enthalten ist, also auf die Änderung die Winkelhalbierende aufaddiert wird. Das Gleichgewicht bestimmt sich wieder durch die Bedingung, dass sich der pro-Kopf-Kapitalstock nicht ändert, also $k_t=k_{t+1}$. Dies entspricht der Winkelhalbierenden. Der Gleichgewichtspunkt ist also erreicht, wenn der Funktionsgraph $k_{t+1}=\left(1-\delta \right)k_t+\mathit{sf}\left(k_t\right)$ die Winkelhalbierende schneidet.

In der Graphik ist zudem die Entwicklung von einem beliebigen Startpunkt angegeben. Wie man in der Graphik sieht, konvergiert das Modell von jedem Punkt aus zum Gleichgewicht. Dabei sind die Konvergenzschritte umso kleiner, je näher man sich am Gleichgewicht befindet. Die Graphik ist dabei so zu lesen: Ausgehend von einem Startwert $k_t$ bestimmen wir den Wert $k_{t+1}$ der nächsten Periode, indem wir vom Punkt $k_t$ auf der x-Achse nach oben zum Funktionsgraph $k_{t+1}\left(k_t\right)$ gehen und dort den y-Wert $k_{t+1}$ ablesen. Diesen Spiegeln wir dann an der Winkelhalbierenden (x=y) wieder auf die x-Achse zurück um dort den nächsten Startpunkt $k_{t+1}$ zu bekommen. Nun wiederholen wir das Procedere um zu $k_{t+2}$ zu bekommen usw.

Wenn man bei diesem Verfahren die Wege von und zu den Achsen weglässt, sieht man, dass man nach dem Ablesen des $k_{t+1}-$Wertes der nächsten Periode am Funktionsgraphen diesen direkt horizontal zur Winkelhalbierenden überträgt und von da aus wieder vertikal zum Funktionsgraphen für den nächsten $k_t$ Wert.