3.3 Wachstumsdynamik und Gleichgewicht

Nun wird es etwas technischer. Wir schauen uns zunächst die beiden Produktionsfaktoren an.

Die arbeitende Bevölkerung wächst mit der Rate $n$, d.h.

$$\dot{L}=\mathit{nL}.$$

Hierbei bezeichnet der Punkt über dem $L$die Ableitung nach der Zeit, also $\dot{L}\equiv \frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}.$

Die Änderung des Kapitalstocks speist sich aus zwei Quellen: den Bruttoinvestitionen und den Abnutzungen. Die Sparrate $s$ gibt an, welcher Teil der Produktion für neue Maschinen, also als Investition verwendet wird:

$$I=\mathit{sY}$$

und die Abnutzungsrate $\delta$ gibt an, wie schnell sich die vorhandenen Maschinen (Kapitalstock) abnutzen: 

$$\dot{K}=I-\mathit{\delta K}=\mathit{sY}-\mathit{\delta K}.$$

Dies ist die übliche und allgemein bekannte Bewegungsgleichung für den Kapitalstock: Die Anzahl der Maschinen ändert sich positiv, durch die neu geschaffenen Maschinen (=Investitionen) und negativ durch die Abnutzung.

Nun müssen wir noch die Bewegungsgleichung für den pro-Kopf-Kapitalstock $k=\frac{K}{L}$ ausrechnen. Dazu nehmen wir die obigen Ergebnisse und die Quotientenregel, da sich ja sowohl der Kapitalstock im Zähler wie auch die Bevölkerung im Nenner ändern.

$$\begin{array}{llll}\hfill \dot{k}& =\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\frac{K}{L}\right)=\frac{\dot{K}L-\dot{L}K}{L^2}=\frac{\left(\mathit{sY}-\mathit{\delta K}\right)L-\mathit{nLK}}{L^2}=s\frac{Y}{L}-\delta \frac{K}{L}-n\frac{K}{L}=\mathit{sy}-\left(\delta +n\right)k& \hfill & \\ \hfill \dot{k}& =\mathit{sf}\left(k\right)-\left(\delta +n\right)k& \hfill & \end{array}$$

Nun können wir ein Gleichgewicht im Wachstum definieren: Die Volkswirtschaft befindet sich in einem stabilen Zustand / Gleichgewicht, wenn sich die Kapitalintensität nicht mehr ändert. Sie wächst dann nur noch insoweit, als dass die Bevölkerung wächst, die Situation für jedes Individuum bleibt aber konstant. Deshalb bezeichnen wir diese Situation als Gleichgewicht.

$$\dot{k}=0\iff \mathit{sf}\left(k\right)=\left(\delta +n\right)k$$

Wir bestimmen nun die Gleichgewichtskapitalintensität $k^{\text{∗}}$ als Lösung der Gleichgewichtsbedingung

$$\mathit{sf}\left(k^{\text{∗}}\right)=\left(\delta +n\right)k^{\text{∗}},$$

wie man sie aus der Graphik leicht ablesen kann.

Da $y=f\left(k\right)$ ergibt sich aus der gleichgewichtigen Kapitalintensität $k^{\text{∗}}$ das gleichgewichtige pro Kopf BIP

$$y^{\text{∗}}=f\left(k^{\text{∗}}\right).$$