Homogene Funktionen

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15.2 Homogene Funktionen

Definion:

Eine Funktion

f : ℝ^{n} \mapsto ℝ, \vec{x} \mapsto f (\vec{x})

heißt homogen vom Grad

h \in ℝ

, wenn für alle

\vec{x} \in ℝ^{n}

gilt:

f (k \vec{x}) = k^{h} f (\vec{x}) für alle k \in ℝ_{0}^{+}

Multipliziert man die Inputvariablen $\vec{x} \sum_{i}^{b}$ mit einer positiven Zahl $k \geq 0$ , so wird der Funktionswert mit dem Faktor $k^{h}$ multipliziert.

Homogene Funktionen haben besondere Eigenschaften, die im folgenden kurz aufgezählt und auf den folgenden Seiten für Funktionen von zwei Variablen veranschaulicht werden. Für homogene Funktionen gelten insbesondere die folgenden beiden Theoreme:

Eulers Theorem

f (\vec{x}) ist homogen vom Grad h \Leftrightarrow x_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} f (\vec{x}) + . . . + x_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}} f (\vec{x}) = hf (\vec{x}) .

Homogenität der Ableitungen

f (\vec{x}) ist homogen vom Grad h \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (\vec{x}) ist homogen vom Grad h - 1 für alle i .

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Dynamic Economics - Dynamische Volkswirtschaftslehre: Ein Online Lehrbuch mit dynamischen Graphiken zur Einführung in die Volkswirtschaftslehre © 2010-2023 by Christian Bauer, Universität Trier is licensed under CC BY-SA 4.0
Prof. Dr. Christian Bauer, Lehrstuhl für monetäre Ökonomik, Universität Trier, D-54296 Trier, E-mail: bauer@uni-trier.de