7.1.3 Herleitung der Gleichung

Um die Erträge der beiden Anlagemöglichkeiten zu vergleichen, ermitteln wir diese separat. Als Inlandswährung nehmen wir exemplarisch den Euro €, 🙙 🙙♪✝¨rung den US Dollar $. ♪ ⚭ ♪🙙♪✝ ✝ ⚭ $i$, ✝ ♪ ⚭ 🙙♪✝ ⚭ $i^{\text{∗}}$ ⋆⚮♪. Ω⚮🙙 ♪ ℧♪♪♪♪ ✝ ⚭ $E$ ⋆⚮♪, ♪✝ ⋆ ♪, 🙙 ♪♪ ✝ 🙙♪✝¨rung man für eine Einheit Inlandswährung erhält. Mit dem Zeitindex $t$ bezeichnet $𝔼(E_{t+1})$ also den erwarteten Wechselkurs der nächsten Periode. Die Zeitindizes lassen wir bei den Zinsgrößen weg, um die Notation einfach zu halten. Der Anlagebetrag sei $X$.

Der Endwert des Euro-Assets in Euro ist offenbar $X\cdot (1+i)$. Der Endwert des Dollar-Assets in Euro ist $X\cdot (1+i^{\text{∗}})\cdot \frac{E_t}{E_{t+1}}$. Dies sieht man wie folgt.

Zuerst muss der Anlagebetrag in Dollar getauscht werden. Dies ergibt (Mengennotierung!) $X\cdot E_t$$. ✝ ✝♪♪ ⚭ $i^{\text{∗}}$ ♪, ✝ ⚮ $X\cdot E_t\cdot (1+i^{\text{∗}})$$ ⋆. ♪ ⚭ ⚭♪ ♪♪ ♪ ¨ktauschen, also durch den zukünftigen Wechselkurs dividiert werden: $X\cdot E_t\cdot (1+i^{\text{∗}}):E_{t+1}$.

Setzt man die beiden Erträge nun aufgrund der Arbitragefreiheit gleich, dann kann der Anlagebetrag herausgekürzt werden, und man sieht, dass es nur um die Renditen und nicht die Anlagesummen geht:

$$\begin{array}{rcll}X\cdot (1+i)& =& X\cdot (1+i)\cdot \frac{E_t}{E_{t+1}}& \text{(7.1)}\\ 1+i& =& (1+i^{\text{∗}})\cdot \frac{E_t}{E_{t+1}}& \text{(7.2)}\end{array}$$

Um nun zur anfangs gezeigten, einfachen Formel zu gelangen, muss noch eine Approximation durchgeführt und der Erwartungswert gebildet werden.² Zunächst logarithmieren wir beide Seiten und approximieren dann $\mathit{ln}(1+x)\approx x$.

$$\begin{array}{rcll}\mathit{ln}(1+i)& =& \mathit{ln}\left((1+i^{\text{∗}})\cdot \frac{E_t}{E_{t+1}}\right)& \text{(7.3)}\\ \mathit{ln}(1+i)& =& \mathit{ln}(1+i^{\text{∗}})+\mathit{ln}(E_t)-\mathit{ln}(E_{t+1})& \text{(7.4)}\\ i& =& i^{\text{∗}}-\mathrm{\Delta }\mathit{ln}(E)& \text{(7.5)}\\ i-i^{\text{∗}}& =& -\mathrm{\Delta }\mathit{ln}(E)& \text{(7.6)}\end{array}$$

wobei $\mathrm{\Delta }$ die Änderung einer Größe bezeichnet. Die Änderung einer logarithmierten Größe stellt die Änderung in Prozent dar, zumindest so lange die Approximation $\mathit{ln}(1+x)\approx x$ zulässig ist.³ $\mathrm{\Delta }\mathit{ln}(E)$ ist also die prozentuale Änderung des Wechselkurses $E$. Wenn $E$ um 0.1, also 10% steigt, dann bedeutet das eine 10 prozentige Abwertung der ausländischen Währung. Steigt $E$ beispielsweise von $E=1\frac{\$}{}$ auf $E=1,1\frac{\$}{}$, dann muss man am Ende 110$ 100€🙙♪, 🙙 10 ⚭, ♪✝ ✝ ⋆✝, ✝ ✝ 🙙🙙 10 ♪ , ✝ 🙙🙙 🙙 ⋆ .