4.1 Stetige Zeit: Differentialgleichungen

Bei Modellen mit stetiger Zeit hat die definierende Gleichung immer folgende Form:

$$ẋ=f\left(x,p\right)$$

D.h. die Veränderung des Zustands wird als Funktion des aktuelle Zustands dargestellt. Ein Gleichgewicht ist somit ein Punkt, an dem sich der aktuelle Zustand nicht mehr ändert: 

$$ẋ\left(x\right)=0,$$

also genau dann, wenn der Graph von $ẋ=f\left(x,p\right)$ eine Nullstelle hat.

Beispielhaft illustrieren wir das an

$$ẋ=x^3-3x-p.$$

Dabei stellt $p$ den exogenen Parameter dar, der mit Hilfe des Schiebereglers verschoben werden kann.

In der Beispielgraphik sieht man sehr schön, dass es zwei Arten von Gleichgewichten gibt:

• stabile Gleichgewichte, bei denen sich das System hin zum Gleichgewicht bewegt.
• instabile Gleichgewichte, bei denen sich das System vom Gleichgewichtspunkt wegbewegt.

Im grünen Bereich bewegt sich das System nach oben, d.h. $x$ wächst im Zeitablauf ($ẋ>0$), im roten Bereich nach unten, d.h. $x$ fällt im Zeitablauf ($ẋ<0$). In einem Bereich um das erste und dritte Gleichgewicht bewegt sich das System auf das Gleichgewicht zu, beim zweiten davon weg.

In der unteren Graphik können Sie eine selbstgewählte Funktion $f$ eingeben, und sich die Gleichgewichte anzeigen lassen.